割点

题目描述

给定一个有 N 个点的无向连通图,问图中哪些点去掉后图将不再连通?同时输出去掉这个点后,图被分为几个连通块?

输入包含多组数据,每组以 0 结尾,每行描述图中边的两个顶点的标号。每组数据之间有一个空行。

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

struct Edge{
int tar;
Edge * next;
} * first[1000], * eg, edges[1000000];
int fl[1000];
void addedge(int a, int b){
eg->tar = b;
eg->next = first[a];
first[a] = eg++;
}
void dfs(int k, int x){
fl[k] = x;
for(Edge * arr = first[k]; arr != NULL; arr = arr->next){
if(arr->tar == x || fl[arr->tar] == x)
continue;
dfs(arr->tar, x);
}
}
int main(){
int cas = 0;
while(true){
memset(first, 0, sizeof(first));
eg = edges;
int n = 0;
while(true){
int a, b;
cin >> a;
if(!a) break;
cin >> b;
n = max(n, max(a, b));
a--; b--;
addedge(a, b);
addedge(b, a);
}
if(!n) return 0;
if(cas) cout << endl;
cas++;
cout << "Network #" << cas << endl;
bool f = false;
memset(fl, -1, sizeof(fl));
for(int i = 0; i < n; i++){
if(first[i] == NULL)
continue;
int cnt = 0;
for(int j = 0; j < n; j++){
if(i == j) continue;
if(first[j] == NULL) continue;
if(fl[j] < i){
cnt++;
dfs(j, i);
}
}
if(cnt > 1){
cout << "SPF node " << i+1 << " leaves " << cnt << " subnets" << endl;
f = true;
}
}
if(!f) cout << "No SPF nodes" << endl;
}
return 0;
}
/*
Input:
1 2
5 4
3 1
3 2
3 4
3 5
0
Output:
Network #1
SPF node 3 leaves 2 subnets
Input:
0
(end)
*/

Tarjan算法

Tarjan 算法是一种由 Robert Tarjan 提出的求解有向图强连通分量的算法,它能做到线性时间的复杂度。

有如下定义:

如果两个顶点可以相互通达,则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。

Tarjan 算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时,把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈,回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

在 Tarjan 算法中,有如下定义。

dfn[i] : 在DFS中该节点被搜索的次序(时间戳)

low[i] : 为 i 或 i 的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号

当 dfn[i] == low[i] 时,为 i 或 i 的子树可以构成一个强连通分量。

另一种解释:

dfn[i]:就是一个时间戳(被搜到的次序),一旦某个点被DFS到后,这个时间戳就不再改变(且每个点只有唯一的时间戳)。所以常根据dfn的值来判断是否需要进行进一步的深搜。

low[i]:该子树中,且仍在栈中的最小时间戳,像是确立了一个关系,low[i] 相等的点在同一强连通分量中。

注意初始化时 dfn[i] = low[i] = ++cnt.

算法思路:

首先这个图不一定是一个连通图,所以跑 Tarjan 时要枚举每个点,若 dfn[i] == 0,进行深搜。

然后对于搜到的点寻找与其有边相连的点,判断这些点是否已经被搜索过,若没有,则进行搜索。若该点已经入栈,说明形成了环,则更新 low.

在不断深搜的过程中如果没有路可走了(出边遍历完了),那么就进行回溯,回溯时不断比较 low[i],去最小的 low 值。如果dfn[x] == low[x] 则x可以看作是某一强连通分量子树的根,也说明找到了一个强连通分量,然后对栈进行弹出操作,直到 x 被弹出。

详细请看这里

如果还没懂是什么意思,再给出一种解释:

dfn[i] 表示在DFS回溯的前提下,该结点 vi 被遍历的时间先后顺序,也就是时间戳,顺序递增。

low[i] 表示在DFS回溯的前提下,该结点 vi 不通过父结点时到达 vi 这条边所能连通的顶点时间戳的最小值。初始 low[i] = dfn[i]。

DFS处理到末尾后向前回溯,同时维护:(因为可以由 father 到 children 再到 children 所能连通的顶点时间戳的最小值,并没有通过 father 的 father)

low[father] = min{ low[father], low[children] }.

dfn 和 low 都处理完毕后:

设一个父结点 vf 的所有子结点 v ci,0 <= i <= k。k 是 vf 的子结点总数。

若存在 low[ci] >= dfn[vf],则 vf 是割点;

若存在 low[ci] > dfn[vf],则 e f-ci 是割边。

这也正说明了一个图中割边的数量永远不会超过割点的数量。

Tarjan 算法仅用两次DFS回溯就可以得到所有割点和割边,不必暴力枚举,对于无向图 G(V, E) 的时间复杂度是 O(|V| + |E|).

两篇很详细的文章:

https://www.jianshu.com/p/844aa43b23ab

https://blog.csdn.net/qq_34374664/article/details/77488976

算法模板

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void tarjan(int now)
{
dfn[now] = low[now] = ++cnt; //初始化
stack[++t] = now;       //入栈操作
v[now] = 1;         //v[i]代表该点是否已入栈
for(int i = f[now]; i != -1; i = e[i].next) //邻接表存图
if(!dfn[e[i].v])           //判断该点是否被搜索过,若没有
{
tarjan(e[i].v);
low[now] = min(low[now], low[e[i].v]); //回溯时更新low[i],取最小值
}
else if(v[e[i].v]) //若访问过,并且还在栈里
low[now] = min(low[now], dfn[e[i].v]); //一旦遇到已入栈的点,就将该点作为连通量的根
                             //这里用dfn[e[i].v]更新的原因是:这个点可能
                             //已经在另一个强连通分量中了但暂时尚未出栈,所
                             //以now不一定能到达low[e[i].v]但一定能到达
                             //dfn[e[i].v].
if(dfn[now] == low[now])
{
int cur;
do
{
cur = stack[t--];
v[cur] = false; //不要忘记出栈
}while(now != cur);
}
}

具体实现

复杂版

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#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;

const int maxn = 1e3 + 10;
const int maxm = 1e6 + 10;

int tst; // timestamp
int N, M; // 顶点数N,边数M

struct Edge {
int from, to;
Edge(int f = 0, int t = 0):
from(f), to(t) { }
~Edge() { }
};

// adj-list undirected graph
// idx -> even with compone idx + 1.
vector<Edge> edges; //所有边的集合
vector<int> ver[maxn]; //记录每一个顶点出发的边在edges中的索引
int dfn[maxn];
int low[maxn];

vector<int> verCut; //割点集
vector<Edge> edgeCut; //割边集

/**
* @brief 读取数据,以邻接表方式储存,因为是无向图需要一条边存两次
* 第1行输入N和M表示图的顶点数和边数
* 接下来第2到第M + 1行输入from和to表示无向图的一条边的两个顶点.
*/
void readData() {
cin >> N >> M;
for (int inc = 0; inc < M; inc ++) {
int from = 0, to = 0;
cin >> from >> to;
ver[from].push_back(edges.size());
edges.push_back(Edge(from, to));
ver[to].push_back(edges.size());
edges.push_back(Edge(to, from));
}
}

/**
* @brief DFS回溯上标签
* @param curr_ver 当前顶点的编号
* @param fa_ver 当前顶点的父亲编号,根节点父亲设为-1
*/
void labelling(int curr_ver = 0, int fa_ver = -1) {
dfn[curr_ver] = low[curr_ver] = ++tst; //初始化dfn和low
for (vector<int>::iterator iter = ver[curr_ver].begin();
iter != ver[curr_ver].end(); iter ++) {
if (edges[*iter].to == fa_ver)
continue;
if (!low[edges[*iter].to]) {
labelling(edges[*iter].to, curr_ver);
}
low[curr_ver] = min(low[curr_ver], low[edges[*iter].to]);
}
}

/**
* @brief 收集统计割点及割边
*/
void collect(int curr_ver = 0, int fa_ver = -1) {
tst++;
bool is_vercut = false;
for (vector<int>::iterator iter = ver[curr_ver].begin();
iter != ver[curr_ver].end(); iter++) {
if (edges[*iter].to == fa_ver || dfn[edges[*iter].to] != tst + 1)
continue;
collect(edges[*iter].to, curr_ver);
int sub = low[edges[*iter].to] - dfn[curr_ver];
is_vercut = (sub >= 0);
if (sub > 0) {
edgeCut.push_back(Edge(curr_ver, edges[*iter].to));
}
}
if (is_vercut) {
verCut.push_back(curr_ver);
}
}

/**
* @brief tarjan算法,包含两个子函数,调用函数前需要将时间戳重置
*/
void tarjan() {
tst = 0;
labelling();

tst = 0;
collect();
}

void show() {
cout << "vertex cut(s):" << endl;
cout << "total: " << verCut.size() << endl;
for (vector<int>::iterator iter = verCut.begin();
iter != verCut.end(); iter ++) {
cout << (*iter) << endl;
}

cout << "edge cut(s):" << endl;
cout << "total: " << edgeCut.size() << endl;
for (vector<Edge>::iterator iter = edgeCut.begin();
iter != edgeCut.end(); iter ++) {
cout << (*iter).from << " to " << (*iter).to << endl;
}
}

int main() {
//freopen("Tarjan.txt", "r", stdin);

readData();

tarjan();

show();

return 0;
}

/*****测试数据******
6 6
0 1
1 3
3 4
4 5
1 4
1 2
*******************/

简易版

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#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

const int maxn = 1001;

struct node{
int c;
int next;
}edge[maxn];

int low[maxn], dfn[maxn];
int stack[maxn], heads[maxn], visit[maxn]; //head配合结构体前向星
int cnt, dep, idx;

void addEdge(int x, int y){
edge[++cnt].next = heads[x];
edge[cnt].c = y;
heads[x] = cnt;
}

void Tarjan(int u){ //代表第几个点在处理,递归的是点
dfn[u] = low[u] = ++dep; //新进点的初始化
stack[++idx] = u;
visit[u] = 1;
for(int i = heads[u]; i != -1; i = edge[i].next){
if(!dfn[edge[i].c]){
Tarjan(edge[i].c);
low[u] = min(low[u], low[edge[i].c]); //递归出来,比较谁是谁的儿子/父亲,就是树的对应关系,涉及到强连通分量子树最小根的事情
}
else if(visit[edge[i].c]){
low[u] = min(low[u], dfn[edge[i].c]); //比较谁是谁的儿子/父亲,就是链接对应关系
}
}
if(low[u] == dfn[u]){ //发现是整个强连通分量子树里的最小根
do{
cout << stack[idx] << " ";
visit[stack[idx]] = 0;
idx--;
}while(u != stack[idx + 1]);
cout << endl;
}
}

int main(){
memset(heads, -1, sizeof(heads));
int n, m;
cin >> n >> m;
int x, y;
for(int i = 0; i < m; i++){
cin >> x >> y;
addEdge(x, y);
}
for(int i = 1; i <= n; i++){
if(!dfn[i])
Tarjan(i);
}
return 0;
}

/*
Input:
6 8
1 3
1 2
2 4
3 4
3 5
4 6
4 1
5 6
Output:
6
5
3 4 2 1
*/

You need to set client_id and slot_id to show this AD unit. Please set it in _config.yml.