Dijkstra算法

最短路径

在图中,从某一顶点到另一顶点的路径可能不止一条,其中权值总和最小的那一条就是最短路径。

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

算法描述

设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

算法步骤

a.初始时,S只包含源点,即S={v},v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,即:U={其余顶点},若v与U中顶点u有边,则正常有权值,若u不是v的出边邻接点,则权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。

c.以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

算法实例

https://www.jianshu.com/p/ff6db00ad866

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//整个过程和Prim很相似
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

#define MAX 1000
const int N = 20;
int graph[N][N], n;

void dijkstra(){
int dist[N], v[N];
for(int i = 0; i < n; i++)
dist[i] = graph[0][i];
memset(v, 0, sizeof(v));
dist[0] = -1;
for(int i = 0; i < n; i++){
int minVal = MAX, t = 0;
for(int j = 1; j < n; j++){
if(dist[j] != -1 && dist[j] < minVal){
t = j; minVal = dist[j];
}
}
if(t){
dist[t] = -1;
for(int j = 1; j < n; j++){
if(dist[j] != -1 && dist[t] + graph[t][j] < dist[j]){
dist[j] = dist[t] + graph[t][j]; v[j] = t;
}
}
}
}
for(int i = 1; i < n; i++){
int k = v[i], ans = graph[k][i];
while(v[k]){ //v[k] != 0
ans += graph[v[k]][k];
k = v[k];
}
ans += graph[0][k];
cout << 0 << "-->" << i << ": " << ans << endl;
}
}

int main(){
cin >> n;
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < n; j++)
cin >> graph[i][j];
dijkstra();
return 0;
}
/*
Input:
5
0 10 1000 30 100
1000 0 50 1000 1000
1000 1000 0 1000 10
1000 1000 20 0 60
1000 1000 1000 1000 0
Output:
0-->1: 10
0-->2: 50
0-->3: 30
0-->4: 60
*/