MATLAB矩阵处理-续

矩阵求值

向量和矩阵的范数

1）向量的 3 种常用范数

向量1—范数：向量元素的绝对值之和。

向量2—范数：向量元素平方和的平方根。

向量∞—范数：所有向量元素绝对值中的最大值。

norm(V) 或 norm(V, 2)：计算向量 V 的 2—范数。

norm(V, 1)：计算向量 V 的 1—范数。

norm(V, inf)：计算向量 V 的 ∞—范数。

2）矩阵的范数

矩阵 A 的 1—范数：矩阵列元素绝对值之和的最大值。

矩阵 A 的 2—范数：A’A 矩阵的最大特征值的平方根。

矩阵 A 的 ∞—范数：所有矩阵行元素绝对值之和的最大值。

>> x = [2,0,1; -1,1,0; -3,3,0]
>> n = norm(x)
n =
    4.7234
>> n = norm(x, 1)
n =
     6

矩阵的条件数

矩阵 A 的条件数等于 A 的范数与 A 的逆矩阵的范数的乘积。

条件数越接近 1，矩阵的性能越好。

cond(A, 1)：计算 A 的 1—范数下的条件数。

cond(A) 或 cond(A, 2)：计算 A 的 2—范数下的条件数。

cond(A, inf)：计算 A 的 ∞—范数下的条件数。

例如，求 2~10 阶希尔伯特矩阵的条件数。

for n = 2:10
    c(n) = cond(hilb(n));
end
format long
c'

ans =

   1.0e+13 *

                   0
   0.000000000001928
   0.000000000052406
   0.000000001551374
   0.000000047660725
   0.000001495105864
   0.000047536735691
   0.001525757556663
   0.049315340455101
   1.602502816811318

矩阵的特征值与特征向量

E = eig(A)：求矩阵 A 的全部特征值，构成向量 E。

[X, D] = eig(A)：求矩阵 A 的全部特征值，构成对角阵 D，并产生矩阵 X，X 各列是相应的特征向量。

>> A = randi([1,10],3,3)
A =
     2     3     2
     8     5    10
     4     1    10
>> B = randi([1,10],2,2)
B =
     6     3
     1     4
>> A1 = zeros(3,2)
A1 =
     0     0
     0     0
     0     0
>> B1 = zeros(2,3)
B1 =
     0     0     0
     0     0     0
>> C = [A,A1;B1,B]      # 或者直接C = [A,zeros(3,2); zeros(2,3),B]
C =
     2     3     2     0     0
     8     5    10     0     0
     4     1    10     0     0
     0     0     0     6     3
     0     0     0     1     4
>> x1 = eig(A)
x1 =
   13.9462
   -1.1038
    4.1576
>> x2 = eig(B)
x2 =
     7
     3
>> x = eig(C)
x =
   13.9462
   -1.1038
    4.1576
    7.0000
    3.0000
>> [D1,E1]=eig(A)
D1 =
   -0.2887   -0.7464   -0.5276
   -0.8167    0.6308   -0.7002
   -0.4996    0.2121    0.4811
E1 =
   13.9462         0         0
         0   -1.1038         0
         0         0    4.1576
>> [D2,E2]=eig(B)
D2 =
    0.9487   -0.7071
    0.3162    0.7071
E2 =
     7     0
     0     3
>> [D,E]=eig(C)
D =
   -0.2887   -0.7464   -0.5276         0         0
   -0.8167    0.6308   -0.7002         0         0
   -0.4996    0.2121    0.4811         0         0
         0         0         0    0.9487   -0.7071
         0         0         0    0.3162    0.7071
E =
   13.9462         0         0         0         0
         0   -1.1038         0         0         0
         0         0    4.1576         0         0
         0         0         0    7.0000         0
         0         0         0         0    3.0000

MATLAB 提供了一个 eigshow 函数，可以演示单位圆上的向量 x 和 Ax 之间的关系。

稀疏矩阵

稀疏存储方式只存储矩阵的非零元素的值及其位置，即行号和列号。

A = sparse(S)：将矩阵 S 转化为稀疏存储方式的矩阵 A。

S = full(A)：将矩阵 A 转化为完全存储方式的矩阵 S。

>> A = sparse(eye(5))
A =
   (1,1)        1
   (2,2)        1
   (3,3)        1
   (4,4)        1
   (5,5)        1
>> B = full(A)
B =
     1     0     0     0     0
     0     1     0     0     0
     0     0     1     0     0
     0     0     0     1     0
     0     0     0     0     1
>> whos
  Name      Size            Bytes  Class     Attributes

  A         5x5               128  double    sparse    
  B         5x5               200  double

直接建立稀疏存储矩阵

sparse 函数的其他调用格式：

sparse(m, n)：生成一个 m*n 的所有元素都是零的稀疏矩阵。

sparse(u, v, S)：其中 u, v, S 是 3 个等长的向量。S 是要建立的稀疏存储矩阵的非零元素，u(i)、v(i) 分别是 S(i) 的行和列下标。

用 spconvert 函数直接建立稀疏存储矩阵，其调用格式为：B = spconvert(A)

A 为一个 m 3 或 m 4 的矩阵，其每行表示一个非零元素，m 是非零元素的个数。

A (i, 1) 表示第 i 个非零元素所在的行；

A (i, 2) 表示第 i 个非零元素所在的列；

A (i, 3) 表示第 i 个非零元素所在的实部；

A (i, 4) 表示第 i 个非零元素所在的虚部；

若矩阵的全部元素都是实数，则无须第 4 列。

>> A = [2,2,1;2,1,-1;2,4,3]
A =
     2     2     1
     2     1    -1
     2     4     3
>> B = spconvert(A)
B =
   (2,1)       -1
   (2,2)        1
   (2,4)        3

带状稀疏矩阵的稀疏存储

稀疏矩阵有两种基本类型：无规则结构的稀疏矩阵与有规则结构的稀疏矩阵。

带状稀疏矩阵是指所有非零元素集中在对角线上的矩阵。

[B, d] = spdiags(A)：从带状稀疏矩阵 A 中提取全部非零对角线元素赋给矩阵 B 及其位置向量 d。

A = spdiags(B, d, m, n)：产生带状稀疏矩阵的稀疏存储矩阵 A。其中 m，n 为原带状稀疏矩阵的行数和列数，矩阵 B 的第 i 列即为原带状稀疏矩阵的第 i 条非零对角线，向量 d 为原带状稀疏矩阵的所有非零对角线的位置。

>> A = [11,0,0,12,0,0;0,21,0,0,22,0;0,0,31,0,0,32;41,0,0,42,0,0;0,51,0,0,52,0]
A =
    11     0     0    12     0     0
     0    21     0     0    22     0
     0     0    31     0     0    32
    41     0     0    42     0     0
     0    51     0     0    52     0
>> [B, d] = spdiags(A)
B =
     0    11    12
     0    21    22
     0    31    32
    41    42     0
    51    52     0
d =
    -3
     0
     3
>> A = spdiags(B, d, 5, 6)
A =
   (1,1)       11
   (4,1)       41
   (2,2)       21
   (5,2)       51
   (3,3)       31
   (1,4)       12
   (4,4)       42
   (2,5)       22
   (5,5)       52
   (3,6)       32

单位矩阵的稀疏存储

speye(m, n) 返回一个 m * n 的稀疏存储单位矩阵。

>> speye(3)
ans =
   (1,1)        1
   (2,2)        1
   (3,3)        1

kf1 = [1,1,2,1,0];
k0 = [2,4,6,6,1];
k1 = [0,3,1,4,2];
B = [kf1,k0,k1];
d = [-1;0;1];
A = spdiags(B, d, 5, 5);
f = [0,3,2,1,5];
x = A \ f

注意：当参与运算的数据对象不全是稀疏存储矩阵时，所得结果是完全存储形式。