Dijkstra算法

最短路径

在图中，从某一顶点到另一顶点的路径可能不止一条，其中权值总和最小的那一条就是最短路径。

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

算法描述

设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

算法步骤

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

算法实例

https://www.jianshu.com/p/ff6db00ad866

//整个过程和Prim很相似
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

#define MAX 1000
const int N = 20;
int graph[N][N], n;

void dijkstra(){
    int dist[N], v[N];
    for(int i = 0; i < n; i++)
        dist[i] = graph[0][i];
    memset(v, 0, sizeof(v));
    dist[0] = -1;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        int minVal = MAX, t = 0;
        for(int j = 1; j < n; j++){
            if(dist[j] != -1 && dist[j] < minVal){
                t = j; minVal = dist[j];
            }
        }
        if(t){
            dist[t] = -1;
            for(int j = 1; j < n; j++){
                if(dist[j] != -1 && dist[t] + graph[t][j] < dist[j]){
                    dist[j] = dist[t] + graph[t][j]; v[j] = t;
                }
            }
        }
    }
    for(int i = 1; i < n; i++){
        int k = v[i], ans = graph[k][i];
        while(v[k]){  //v[k] != 0
            ans += graph[v[k]][k];
            k = v[k];
        }
        ans += graph[0][k];
        cout << 0 << "-->" << i << ": " << ans << endl;
    }
}

int main(){
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++)
        for(int j = 0; j < n; j++)
            cin >> graph[i][j];
    dijkstra();
    return 0;
}
/*
Input:
5
0 10 1000 30 100
1000 0 50 1000 1000
1000 1000 0 1000 10
1000 1000 20 0 60
1000 1000 1000 1000 0
Output:
0-->1: 10
0-->2: 50
0-->3: 30
0-->4: 60
*/